Geometrie: High Order Surfaces

25. April 2004 / von Frank / Seite 11 von 13

   Bézierdreiecke  (Forts.)

Analog allen anderen Fällen wird das Bézierdreieck natürlich auch durch wiederholte Interpolation generiert. Ein einzelner Punkt der Fläche wird durch drei Parameter u, v und w berechnet. In der Skizze sind alle Einzelschritte des Vorgehens enthalten. Jeder neue Punkt innerhalb eines Einzeldreiecks (zum Beispiel die rot ausgefüllten Startdreiecke des Kontrollnetzes) wird nach dem Muster der baryzentrischen Koordinaten berechnet und dient bis auf den letzten Schritt, als neuer Eckpunkt eines Dreiecks, welches dann weiter verwendet wird. Damit erhalten wir für (u,v,w) = (1,0,0), (0,1,0) oder (0,0,1) die jeweiliges Ecken des Bézierdreickes, welche mit den drei Ecken des Kontrollnetzes zusammenfallen.

mehrfache lineare Interpolation
u, v, w = 1/3 
im letzten Schritt erhält man den Flächenpunkt FL(1/3,1/3,1/3)

Entsprechend gibt es zur Generierung der Fläche wieder den Algorithmus von de Casteljau, aus dem sich ableiten lässt, dass die Randkurven der Fläche - wie bei den rechteckigen Bézierpatches auch - Bézierkurven sind und von den jeweiligen Randpolygon des Kontrollnetzes abhängen.

eine von drei Randkurven
die vier gelben Punkte sind das zugehörige Kontrollpolygon der Bézierkurve

Um zwei Bézierdreiecke gleichen Grades zu verbinden, müssen für einen lücken- und überhanglosen Übergang die beiden Randkurven übereinstimmen, welche ja Bézierkurven sind und von dem Randpolygon kontrolliert werden. Schlussfolgernd müssen die einzelnen Punkte des Randes beider Kontrollnetze zusammenfallen - analog den rechteckigen Patches. Hierbei haben wir aber noch keinen hinreichend glatten Übergang. Für diesen müssen weitere Bedingungen gestellt werden, die nicht unbekannt sein dürften: Der tangentenstetige Übergang hängt von den ersten zwei Reihen quer zum jeweiligen Rand des Kontrollnetzes hinauf ab.

An diesem Moment sei anzumerken, dass eine Untersuchung der "Ableitung am Rand" hier nicht ganz trivial sei. Haben wir bei rechteckigen Bézierpatches zwei Parameter und und eine partielle Ableitung quer zum Rand zu betrachtet, wird es bei drei Parametern etwas komplexer. Hier stellt sich zuerst die Frage, wann überhaupt ein Übergang C^k stetig ist? Dies ist genau dann der Fall, wenn jede kreuzende Gerade des zusammenfallenden Definitionsbereiches auf (überall) C^k stetige zusammengesetzte Kurven abgebildet werden. Dafür kann eine Bedingung formuliert werden, welche jetzt aber hier nicht weiter betrachtet werden soll. Allgemein steht das Ergebnis, dass für einen C^k Übergang k+1 Reihen "beansprucht" werden. Für den uns interessierenden C¹ Übergang bedeutet dies vereinfacht, dass alle Dreieckspaare der Kontrollnetze koplanar sein müssen. Die zugehörige Skizze:

Links: koplanare Dreieckspaare von den beiden Kontrollnetzen kubischer Bézierdreiecke
Rechts: ein anderes Beispiel aber mit eingezeichneter zusammengesetzter Kurve

Wir könnten im weiteren noch behandeln, wie man Bézierdreieck mit einem Bézierrechteck verbindet, oder ein ganz anderen Freiformflächen Typ aufgreifen. Aber an dieser Stelle soll und das vorerst genügen und uns eher einem praktischen Beispiel widmen.