Geometrie: High Order Surfaces

25. April 2004 / von Frank / Seite 7 von 13

   B-Splines  (Forts.)

Aber sind die Unterschiede zwischen "glatt" (C¹) und "glatt" (C²) denn wirklich sichtbar? Ja - zum Beispiel bei Reflexions- und Schattenlinien. Stellen wir uns einfach eine Kuppel eines Observatoriums vor:

Der Übergang zwischen dem Zylinderförmigen Grundbau und der Kuppel ist zwar
auf den ersten Blick glatt - die Schattenlinie hat jedoch einen Knick.

Doch zurück zum Thema: (Für unsere Mathefans: Der C² Übergang hat zur Folge, dass die Schmiegebenen der beiden Kurven am gemeinsamen Punkt übereinstimmen) Wir brauchen die kubischen B-Splines gegenüber den Quadratischen auch, um überhaupt Raumkurven zu ermöglichen. Zusätzlich bietet der höhere Grad natürlich auch einen möglichen Wendepunkt innerhalb eines Segmentes - also ist nicht nur eine einfach Biegung möglich. Statt eines zusätzlichen Bézierpunktes werden nun deren Drei berechnet - das nach fester Regel. Andeutungsweise die dazugehörige Skizze:

Gelb: gegebene Punkte
Grün: anhand der C² Bedingung berechnete zusätzliche Bézierpunkte

Links: kubischer B-Spline mit B-Spline Kontrollpolygon
Rechts: kubischer B-Spline mit Kontrollpolygonen der kubischen Béziersegmente

B-Splines - und damit auch Bézierkurven sind aber nur Spezialfälle der NURBS. Diese haben einen zusätzlichen Designparameter - sogenannte Gewichte. Wird so ein Gewicht an einem Kontrollpunkt erhöht, wird die Kurve entsprechend näher heran gezogen. Entsprechend bleibt die Gestalt erhalten, wenn man die Gewichte aller Kontrollpunkte mit dem selben Faktor multipliziert werden.

Sind alle Gewichte gleich Eins, stimmt die NURBS Kurve mit einem normalen B-Spline überein.