Geometrie: High Order Surfaces

25. April 2004 / von Frank / Seite 2 von 13

   Geschichtliches & Vorlauf

Man könnte meinen solch "mathematischen Dinge" kommen allgemein von Mathematikern oder Physikern, die irgendwann mal vor 100 bis 300 Jahren gelebt haben – nicht so in unserem Fall. Genauer gesagt legten vor etwa 40 Jahren zwei Franzosen die Grundsteine zu unserem Thema: Paul de Casteljau – Mitarbeiter von Citroën und Piere Bézier – Mitarbeiter bei Renault. Weiter könnte man nun vermuten, bei Namen wie Bézierkurve, Bézierfläche, Bézierdreieck, zu denen wir später noch kommen werden, sei gleichnamiger Renaultmitarbeiter der Erstere gewesen oder hätte zumindest die alleinige Hauptarbeit geleistet.

Ersterem ist nicht so: Citroën hielt die Studien von de Casteljau nur über ein gutes Jahrzehnt zurück, da es sich um Errungenschaften handelte, die nicht gleich der Konkurrenz in die Hände fallen sollten (auch dies unterstreicht die Relevanz des Themas). Das war 1959. Béziers Arbeiten wurden 3 Jahre danach veröffentlicht. Ein Vorlauf dazu lieferte aber schon 1870 ein deutscher Mathematikers: J.V.C. Haase. Dabei wird klar: Die Autoindustrie – speziell Karosserieformgebung - ist zum Beispiel eine der Hauptanwendungsgebiete für Freiformflächen (letztendlich jede Art von Formgebung, ob nun eine kleine Teekanne oder ein ganzes Flugzeug).

Uns wird im weiteren aber natürlich eher der Bereich der Computergrafik interessieren. Um aber über Truform & Co zu reden, hat es zum Beispiel keinen Sinn, sich nicht vorher über Bézierdreiecke zu unterhalten. Im selben Atemzug behandelt dieser Artikel auch die Bézierflächen. Als Grundlage dessen werden zuerst Splines, Bézierkurven und B-Splines angesprochen. Dabei wird nebenbei klar, was es mit Begriffen wie NURBS auf sich hat. Natürlich kann man nicht alle Flächenarten in einen Artikel ansprechen – deswegen geht es hier aber auch um die Grundlagen (Bézierkurven & Flächen), von denen sich später eigentlich alle Arten von Freiformkurven und Flächen ableiten lassen.

bis auf Innenraum fertig digitalisiertes Fahrzeug
selbst für kleinere Teilflächen werden mehrere Bézierpatches verwendet

   Kurven

Den Start bilden natürlich die Kurven. Was soll erreicht werden? Wir wollen eine Kurve, die eine gegebene Punktmenge "glatt" approximiert bzw. interpoliert und nebenbei interaktiv manipulierbar ist. Die Begriffe Approximation und Interpolation klären wir am besten an einer Skizze:

Gelb: Vorgegebene Punkte
Rot: Approximierende Kurve (Verlauf an Punkte nur angenährt)
Blau: Interpolierende Kurve (Punkte enthalten)

Man kann sich zum Beispiel für die blauen Kurvenstücke zwischen je zwei Punkten ein Stück eines Parabelbogens vorstellen.