Geometrie: High Order Surfaces

25. April 2004 / von Frank / Seite 3 von 13

   Einfache Splines

Dafür zuerst ein paar Bilder:

Links: 2 Punkte und die dazu interpolierende Gerade
Rechts: 3 Punkte definieren dagegen eindeutig eine Parabel

Links: 4 Punkte definieren eindeutig eine Kurve dritten Grades (kubisch)
Rechts: Es müssen nicht unbedingt vier Punkte sein. Man kann dies verallgemeinern auf vier "Informationen".
Hier im Beispiel: Zwei Punkte mit zugehörigen Anstiegen in den Punkten (oder Tangente an den Punkt).

Die obigen Bilder zeigen recht einfache Beispiele und dies ließe sich auch noch weiter führen mit mehr Punkten und höheren Graden für die Kurve – ist aber nicht der Sinn der Sache. Um zu verstehen, wie es hier logisch weitergeht, muss das Wort "Spline" erklärt werden. Dieser Begriff kommt von Straklatte (aus dem Schiffsbau) – Das ist ein biegsames Lineal, welches damals zum Beispiel zum zeichnen der Planken eines Schiffsrumpf eingesetz wurde.

Eine Straklatte: richtet sich so, dass die Biegeenergie insgesamt minimal wird. 
Diese wird durch Gewichte (Strakgewichte) gehalten und geformt.

Um dies "mathematisch" zu erfassen sollte man annehmen, dass die Straklatte biegehomogen ist – also sich überall gleich biegt. Zusätzlich steigt die Biegeenergie mit der Krümmung. Den genauen Weg durch die Formeln jetzt außer Acht gelassen, steht am Ende das Ergebnis: Unter allen interpolierenden Kurven ist die kubische Splinekurve diejenige, welche die Biegeenergie minimiert (vereinfacht).

Für eine Kurve werden damit in der Praxis häufig auch kubische Kurvenelemente verwendet, welche einzeln zusammengesetzt werden. Bei 20 Punkten wird die Gesamtkurve also gestückelt, anstatt eine einzelne Kurve 19ten Grades zu verwenden. Dabei sind je zwei Punkte Anfangs und Endpunkt eines Splinestücks. Die entstehenden Übergänge zwischen zwei Splines sollen natürlich glatt werden. Entsprechend wird angenommen, dass in den Übergängen bei den jeweils gemeinsamen Punkten die Tangenten übereinstimmen (um nicht zu sagen C¹-stetig: das heißt vereinfacht in den Übergang stimmt die erste Ableitung überein). Des weiteren ist es nötig, einige Randbedingungen anzugeben, damit die Kurve komplett definiert ist. Darauf gehen wir im weiteren aber nicht weiter ein.

Links: ein einzelner kubischer Spline
Rechts: Zusätzlich angehängte Splinekurve. Dazu wurde einfach der Endpunkt (und Tangente in diesem Punkt) als erste Information hergenommen und zusätzlich der Punkt (6,1) (und dort eine waagerechte Tangente angenommen).

Links: siehe oben - der Übergang ist hinreichend glatt
Rechts: im Gegensatz dazu kein "glatter" Übergang